Como costumo discutir pelo menos uma questão da OBMEP que
seja comum aos três níveis e que tenha uma forma diferente de resolução das
apresentadas pelos vídeos na internet e da própria OBMEP, neste post mostrarei
uma outra maneira de resolver a questão número 10 do nível 3, 13 do nível 2 e
19 do nível 1.
A maioria das soluções apresentadas na internet incluindo o
site da OBMEP, utilizam o Princípio da Contagem, outras Arranjo e Permutação.
Acredito que para uma grande parte dos alunos do nível 1 essas soluções podem
ficar sem serem compreendidas, assim vamos apresentar uma forma diferente de ver,
entender e resolver a questão.
A questão: Um estacionamento tem 10 vagas, uma ao lado da
outra, inicialmente todas livres. Um carro preto e um carro rosa chegam a esse
estacionamento. De quantas maneiras diferentes esses carros podem ocupar duas
vagas de forma que haja pelo menos uma vaga livre entre eles?
Antes de resolver temos que entender o português da
questão. Quando se diz "pelo menos uma vaga” podemos ter 1, 2, ..., etc. Assim,
se temos 10 vagas e 10 possibilidades de estacionar o carro preto, então
teremos um quadrado 10x10 com todas as possibilidades de estacionamento (ver
figura abaixo). Mas tem a condição de que tenha pelo menos uma vaga entre os
dois carros (preto e rosa) que aparecem no estacionamento. Desta forma, no
quadrado de possibilidades, teremos na diagonal principal as possibilidades de
estacionamento do carro preto, nas diagonais vizinhas (brancas) teremos a condição
sendo respeitada e, nas demais casas (rosas), as possibilidades de
estacionamento para o carro rosa. Observando o quadro montado a solução fica
mais clara, pois dos 100 quadrados (posições possíveis) devemos retirar os 18
brancos, que correspondem a condição imposta pelo problema de não ter vizinho para
o carro preto, e os 10 pretos correspondendo as possibilidades de estacionar
para o carro preto. Fazendo as contas teremos como resultado 72.
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