ESPIRAL DE TEODORO

Teodoro, filósofo e matemático grego, natural de Cirene, antiga colônia grega na Líbia, nasceu em 465 aC, trinta anos depois da morte de Pitágoras ( 495 aC ) sendo quatro anos mais novo que Sócrates que nasceu em 469 aC. Foi mestre de Platão e, usando o teorema de Pitágoras, demonstrou a irracionalidade da raiz de 2. É dele também a construção da espiral pitagórica  usando o teorema de Pitágoras, denominada de Espiral de Teodoro. Esta espiral é construída a partir de um triângulo retângulo de catetos unitários e os próximos, como catetos, a unidade e a hipotenusa do triângulo anterior. Interessante observar que, a partir desta construção geométrica, será possível traçar um segmento que represente exatamente um número irracional como raiz de 2, por exemplo, embora não se possa representá-lo por um número exato. Lembrando que um número irracional é aquele que não pode ser escrito como quociente de dois números inteiros ou, na forma decimal, os algarismos escritos após a vírgula não se repetem e não têm fim.

Usando o modelo de Teodoro, o conhecimento do teorema de Pitágoras e que um triângulo inscrito em uma circunferência com um dos lados sendo o diâmetro é retângulo, será possível traçar um segmento sem a necessidade de desenvolver a espiral de Teodoro. Por exemplo, para traçar um segmento igual a raiz de 63 basta traçar uma circunferência de diâmetro 8 unidades e, a partir do ponto de encontro da circunferência e diâmetro ( A ) traçar outra circunferência de raio uma unidade determinando o ponto B. Ligando estes pontos ao outro extremo do diâmetro ( C ) teremos um triângulo retângulo ABC com hipotenusa 8 e um dos catetos 1, logo:

                  

A espiral de Teodoro é obtida a partir de um triângulo retângulo de catetos iguais a um e, na sequência, novos triângulos retângulos com cateto menor igual a um e cateto maior igual à hipotenusa do triângulo anterior. A sequência de hipotenusas geradas a partir do cateto unitário será:

Abaixo uma imagem da espiral de Teodoro com a sequência de hipotenusas para os catetos iguais a 2. A espiral também poderá ser traçada a partir de um triângulo retângulo com catetos diferentes de 2, neste caso os valores encontrados serão os mesmos da sequência da espiral de Teodoro de raio igual a um multiplicados pelo novo cateto conforme figura a seguir:

Para fechar o post um pouco da filosofia de Teodoro e sua espiral em uma imagem para catetos iguais a dois.

 “A alegria e o juízo são suficientes para se chegar à felicidade.”

Teodoro de Cirene