ERATÓSTENES

Este sábio grego nasceu em 276 a.C. na cidade grega de Cirene, localizada na costa africana onde hoje está a nação Líbia. Contemporâneo de Arquimedes, outro famoso sábio grego, destacou-se nas áreas de Matemática, Filosofia, Astronomia, Geografia e História e ainda se divertia com os versos e esportes. Ele foi assunto da XVI Olimpíada Brasileira de Astronomia e Astronáutica ( questão com imagens discutida abaixo ) e está presente no cartaz da Olimpíada Brasileira de Matemática ( OBMEP ) que traz seu trabalho de cálculo do raio da Terra. Foi chefe da Biblioteca de Alexandria e tutor do filho de Ptolomeu III. Erastóstenes faleceu por volta de 194 a.C., com idade avançada, devido a uma greve de fome, desgostoso por ter ficado praticamente cego.

A questão 1a da prova do nível 4 da OBA trata do cálculo do raio da Terra realizado por Eratóstenes  utilizando a informação que num certo dia, ao meio dia, em Syene hoje Assuã, distante 800 km de Alexandria na direção sul, o Sol incidia diretamente no fundo de um poço e nenhum obelisco projetava sombra enquanto que em Alexandria um obelisco projetava sombra de 7°. O enunciado da questão ainda cita que a resolução utiliza apenas uma regra de três, assim, deve-se relacionar o comprimento da circunferência ( 2πR ) e o ângulo de uma volta ( 360° ) com o comprimento do arco relativo a distância entre as duas cidades ( Syene e Alexandria ) e o respectivo ângulo ( 7° ).

Comprimento (km)            Ângulo (°)

2πR                                 360°

800                                     7° 

2πR . 7° = 800 . 360°

Substituindo π ( pi ) por 3, dado no problema, e isolando R ( Raio da Terra ) teremos:

R = ( 800 . 360 ) / 2 . 3 . 7 ≅ 6957 km

O raio correto da Terra é 6371 km e a diferença decorre de aproximações das medidas utilizadas no cálculo por Eratóstenes. A primeira foi a distância entre as duas cidades encontrada a partir de passistas, pessoas que mediam distâncias contando os passos ( agrimensores ); a segunda, o valor de  π; a terceira, o do ângulo da sombra, pois à época não havia instrumentos de medida angular precisos e, além disso, os raios solares não são paralelos o que também interfere no valor do ângulo e no resultado final. Mesmo com todas essas aproximações, o cálculo do raio da Terra realizado cerca de 200 anos antes de Cristo nascer é realmente fantástico.

Na questão 1b, se perguntava em qual dia e mês, aproximadamente, o Sol estará sobre o Trópico de Câncer e incidindo sobre o poço em Assuã. Como o Trópico de Câncer se encontra no hemisfério norte, o Sol estará no solstício de verão para este hemisfério e inverno para o nosso, logo, observando as datas dadas na questão seguinte, o resultado é 21 de junho.

Quer saber mais sobre Eratóstenes, clique aqui ou aqui para saber mais sobre as curiosidades mostradas no cartaz da OBMEP 2013.