OBMEP 2016 - QUESTÃO 3 DA PROVA AZUL

Clique para ampliar.

No próximo dia 10, acontecerá a segunda fase da OBMEP 2016. Como o tempo para atualizar o blog está cada vez mais apertado, só hoje estou conseguindo postar uma solução para uma das questões das provas da primeira fase. A questão escolhida é a de número 3 do caderno do terceiro nível (azul), que pede para calcular a área do quadrado Q, conhecidas as áreas dos quadrados P e R (figura acima). A solução dada pela OBMEP apenas afirma que os triângulos I e II são congruentes e utiliza o Teorema de Pitágoras para encontrar a solução.

Os triângulos I e II são retângulos, pois os quadrados P e Q possuem lados na linha base de sustentação. O Teorema de Pitágoras pode ser utilizado tanto em um como no outro para se encontrar a área de Q, mas como provar que os dois triângulos são congruentes e, portanto, cateto x do triângulo I terá a mesma medida que o cateto n do triângulo II, ou que o cateto z do triângulo II terá a mesma medida que o cateto m do triângulo I?

Nesta questão temos um lado comum aos dois triângulos que é y (lado do quadrado R) assim, provando que os ângulos  = Ô e Î = Ê teremos, pelo caso ALA (Ângulo, Lado, Ângulo) a prova de congruência dos triângulos e, portanto, a utilização do Teorema de Pitágoras com mais propriedade e clareza.

Sabemos que:

1) Â + 90° + Î = 180° (ângulos suplementares)

2) Î + Ô + 90° = 180° (Soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°)

3) Â + Ê + 90° = 180° (idem equação anterior)

Como as duas primeiras equações possuem resultado idêntico então:

 + 90° + Î = Î + Ô + 90°

Eliminando os termos semelhantes resta: Â = Ô

Para as duas últimas equações, utilizando o mesmo raciocínio, teremos:

 + 90° + Î =  + Ê + 90°

Então: Î = Ê

Assim, como foi provado que os dois triângulos são congruentes e, portanto, seus ângulos e lados possuem a mesma medida, usando o Teorema de Pitágoras no triângulo I ou II teremos:

y² = z² + n²

Substituindo n por x (têm o mesmo valor), ficamos com:

y² = z² + x²  

Como R = y² , Q = z² e P = x²

Então:

 R = Q + P

Agora, substituindo os valores dados das áreas na equação, resulta:

168 = z² + 24

Z² = 168 – 24 = 144

Portanto, a área do quadrado Q tem 144 m² e a alternativa D é a correta.