OBMEP 2015 - QUESTÃO Nº 20

O problema número 20 da OBMEP 2015, do 3º nível, trata de um ponto muito importante na geometria plana que é a afirmação de que a menor distância entre dois pontos é uma linha reta, mas como usar esse fundamento geométrico em um sólido, no caso da questão uma lata? Para quem tem dificuldade de visualizar a situação em três dimensões a matemática possibilita uma solução que é transferir a superfície lateral e o fundo para um plano e então verificar o fundamento geométrico. Numa caixa de papelão basta abrir as tampas superior e inferior e desfazer a emenda lateral. O que antes era uma caixa (3 dimensões) passa a ser uma superfície de papelão (2 dimensões). No caso da lata, se faz um corte na lateral e no fundo seguindo o trajeto circular. No final teremos uma superfície retangular e uma circular dispostas no plano, onde se poderá verificar a menor distância entre dois determinados pontos.

Na questão 20 a aranha tem que pegar uma mosca que se encontra em oposição a ela e na parte interna da lata (ver figura abaixo) pedindo para calcular quantos centímetros a aranha anda por essa superfície interna até onde se encontra a mosca.

Os dados no enunciado, auxiliados pela figura do trajeto após a lata ser disposta no plano, remetem a uma proporção do terno pitagórico 3,4 e 5, logo, para se encontrar a solução, não precisaria fazer conta, mas, se o terno não foi lembrado, o teorema de Pitágoras pode ser usado para encontrar todo o trajeto da aranha e a razão trigonométrica seno para encontrar o caminho na face interna da lata, conforme mostrado na figura abaixo. A solução da OBMEP usa semelhança de triângulos e o Teorema de Pitágoras para obter os mesmos resultados.

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