Dia 15 de setembro ocorrerá a segunda fase da OBMEP 2012. Não foi possível fazer um trabalho especial com os alunos selecionados das minhas turmas, mas eles vão receber o caderno de respostas e orientações para a prova da segunda fase. Além disso, tem as questões que foram resolvidas aqui no blog para poderem comparar com as soluções do caderno.
A questão que será discutida agora, que também fez parte das provas dos três níveis, embora com enunciados diferentes, é a da sequência de triângulos construídos com palitos. Ela se refere aos números triangulares estudados primeiramente por Pitágoras, que são números naturais, representados por pontos ( ou pequenos triângulos como foi na prova ), formando um conjunto triangular em que a base contém um número de palitos que corresponde ao posicionamento na sequência, conforme mostrado abaixo.
1º ímpar 2º ímpar
Uma forma de resolver o problema é entender a sequência como triângulos pequenos, formados com três palitos, montados em linhas superpostas, em que cada linha base tem o número de triângulos correspondente a sua posição na sequência e, acima desta linha base, o número de triângulos pequenos da posição anterior. Esta forma de resolução está no caderno de soluções da OBMEP (clique aqui para ver as provas e soluções).
Neste post vamos demonstrar outra forma de entender o problema, usando a ideia de que o conjunto de triângulos da sequência ocupando posições ímpares terão a propriedade de serem divididos pelo número do posicionamento que ocupam. Observa-se então, que os triangulares serão formados tomando-se o posterior, multiplicando-o pelo anterior somado com 1, dividindo o resultado por dois, como mostrado abaixo:
Triangular 2= 2 . (2+1)/2 = 3 ( 3 triângulos pequenos )Triangular 3= 3 . (3+1)/2 = 6
Triangular 4= 4 . (4+1)/2 = 10 ...
De forma geral teremos:
T = n . (n+1) , onde n representa os números naturais 1,2,3,...
2
Para provar que os números triangulares com número de ordem ímpar serão divisíveis por este, mas não os de ordem par, usaremos a fórmula acima e a fórmula que descreve os pares - (2.k) - e ímpares - (2.k-1), onde k é, para o nosso caso, qualquer número natural a partir de 1.
Ex.: O par 4 = 2.2, para k=2 e o ímpar 5 = 2.3 - 1, para k=3
Verificando a proposição da divisibilidade pelo número de ordem ímpar temos:
O número triangular 6, está na posição 3 da sequência e 3 divide 6. O 15 está na posição 5 e 5 divide o 15. Já o número triangular 3 está na posição 2 e 2 não divide 3. O 10 está na posição 4 e 4 não divide 10.
Vamos provar a veracidade disso partindo da fórmula já mostrada para encontrar os números triangulares que é:
T = n . (n + 1) (1)2
Se n for ímpar, então terá a forma 2k-1. Substituindo em (1) fica:
(2k-1) . (2k-1+1) = (2k-1) . 2k = (2k-1) . k = 2k²-k
2 2
Agora multiplicando este resultado por 3 ( 3 palitos em cada triângulo ), resulta:
(2k²-k) . 3 = 6k²-3k = 3k . ( 2k-1)
Onde k representa a 1ª, 2ª, ... posição na sequência de ímpares. Assim para o quinto número triangular 15, teremos ele ocupando a terceira posição na sequência de ímpares, ficando então:
3k . (2k-1) = 3.3 . (2.3-1) = 3.3.5
Portanto, o total de palitos terá que ser divisível por 3,5 e pela combinação deles. O 5, em especial, é o que queríamos demonstrar.
Já para o caso dos números na posição par ficará, partindo novamente da fórmula geral (1):
2
3.k . (2k+1)
Onde k representa a 1ª, 2ª, ... posição na sequência de pares. Desta forma, para o segundo par na sequência de triangulares, o 10, teremos:
3.k . (2k+1) = 3.2 . (2.2+1) = 3.2 . 5
Portanto, o total de palitos terá que ser divisível por 2,3,5 e pela combinação deles, mas não será divisível por 4, que é a posição dele na sequência geral.
Podemos concluir desta demonstração que:
1º) Todos os números triangulares da sequência serão divisíveis por 3, pois todos são formados a partir da combinação de 3 palitos;
2º) Todos serão divisíveis pelo número de posicionamento na sequência par (quando forem pares) ou ímpar (quando forem ímpares);
3º) Todos os triangulares de número de posição ímpar, na sequência geral, serão divisíveis por este número;
4º) Todos os triangulares de número de posição par, na sequência geral, serão divisíveis pelo número de posicionamento posterior nesta mesma sequência.
Toda esta demonstração foi só para provar que, para resolver a questão nº 2 do 1º nível, bastava procurar nas alternativas a resposta que fosse divisível por 5. A única existente era o 45, alternativa d. Para a questão nº 9 do 2º nível e nº 2 do 3º nível, bastava procurar nas alternativas, aquela que dividisse o total de palitos, pois o número de palitos do lado do triângulo é o mesmo de posicionamento na sequência geral. A solução para os dois níveis é a letra d.
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